“El camino”: otro desafío de Adrián Paenza 

Quiero empezar planteando un problema ingenuo, pero le sugiero que no crea que porque escribo “ingenuo” se transforma automáticamente en trivial. No. La solución no es inmediata pero lo que puedo asegurar es que cualquier persona puede abordarlo, pensarlo y encontrar la respuesta. No hace falta saber nada particular. No hace falta ser especialista en nada y, en todo caso, muestra cómo muchas veces nos embarcamos en establecer fronteras artificiales que en la vida real no existen. Me explico: uno aprende en el colegio/escuela a resolver problemas de matemática, de física, de química, de biología, de geología, etc., etc., pero los problemas en la vida cotidiana no vienen con una “etiqueta” que los separa o distingue. Entonces, cuando llega el momento de enfrentar una situación cualquiera en donde se requiere pensar, no sirve –en general– tratar de recordar lo que uno estudió, sino tratar de “crear” y buscar alternativas de solución desde cualquier ángulo posible.

Por eso es que todas las empresas (y los gobiernos) debieran abordar los problemas con gente que llegue entrenada en distintas disciplinas: poner lo que hay que resolver sobre la mesa y discutir entre todos. La idea consiste en superar los obstáculos independientemente de las herramientas que hagan falta. Si me permite una reflexión al respecto, diría que valoro mucho más la capacidad creativa que la cultura enciclopedista, que suele apuntar a “amontonar” información, aprender e incorporar datos en forma indiscriminada.

La vida viene preparada de otra manera: uno primero tiene problemas, y después busca las soluciones, y no al revés, como suele suceder en la mayoría de las currículas escolares, en donde uno aprende soluciones a problemas que no tiene, estudia teorías para contestar preguntas que no se hizo, y por supuesto, se las olvida ni bien pudo salir de la presión social que representa “tener que aprobar”.

Pero me desvié. Quiero volver al problema. Es un problema precioso que fue presentado hace un par de años por el matemático español Adolfo Quirós. Es obvio entonces que todo el crédito le corresponde a él, así como la belleza de la solución que voy a proponer más abajo. Me apuro en decir (otra vez) que, como usted descubrirá después, no hace falta ningún conocimiento específico. Lo único que es necesario es pensar.

Suponga que tiene el siguiente mapa con 11 ciudades diferentes. Algunas de las ciudades están unidas por carreteras. Otras no. Las numeré de manera tal de hacer el texto más sencillo. La carretera entre un par de ciudades está indicada por un segmento que las une.

El objetivo es empezar en una ciudad cualquiera (usted elige) y tratar de pasar por todas “una sola vez” y volver a la ciudad de partida.

No es necesario utilizar “todos” los caminos. Pueden quedar algunas carreteras sin utilizar, pero lo que sí, es que cada ciudad debe ser visitada exactamente una vez antes de volver al punto de partida. Este es el dibujo:

Figura 1

¿Se puede? ¿Existe algún camino que usted pueda trazar y que cumpla con las condiciones expuestas más arriba? Si es así, escriba el “orden” en el que hay que recorrer las ciudades.

Si usted concluye que no es posible encontrar el camino, no alcanza con que usted diga “no existe porque yo no lo encontré”. Eso dejaría la posibilidad abierta de que viniera otra persona y sí pueda hallar lo que usted no pudo. Sin embargo, en matemática, cuando uno dice que “tal problema no tiene solución”, lo que uno está diciendo es que no importa el tiempo que pase, ni quién venga, esa solución no va a poder ser encontrada, y para eso, es necesario “demostrar” que la tal solución no existe.

Ahora, como siempre, le toca a usted.

Respuesta

Para convencerse de que no existe (ni existirá) una solución al problema, le propongo que hagamos lo siguiente. Voy a poner un círculo alrededor de algunos números (ciudades) y a otros los voy a enmarcar en un cuadrado. ¿Cómo decidir a cuáles ponerles un círculo y a cuáles un cuadrado? Si dos números están conectados por un camino, entonces uno debe tener un círculo y el otro un cuadrado, o sea, tienen que tener dos figuras geométricas distintas alrededor. Por ejemplo, como le puse un círculo al 1, entonces el 2 (que está conectado con el 1) tiene que tener un cuadrado. Pero como el 2 tiene un cuadrado y está conectado tanto con el 6 como con el 9, entonces ambos tienen que tener un círculo. De la misma forma, el 3 y el 8 tienen que tener un círculo, porque están conectados con el 6 que tiene un cuadrado. Y así siguiendo. Más aún: le sugiero que tome la Figura 1 que está más arriba, en donde aparece el planteo del problema, y haga usted la distribución de los círculos y los cuadrados. Verá que obtiene el mismo resultado: tendrán círculos los números 1, 6, 7, 9, 10 y 5, mientras que quedarán con cuadrados el 2, 3, 4, 8 y 11. O al revés: quedarán con cuadrados alrededor el 1, 6, 7, 9, 10 y 5 mientras que tendrán un círculo el 2, 3, 4, 8 y 11. De acuerdo con lo que yo hice en la Figura 2, hay seis números que tienen círculos y cinco que tienen un cuadrado.

Dicho esto, quiero que pensemos juntos algo más que será muy importante: cada vez que caminamos de una ciudad a otra (o bien, de un número a otro), pasamos de un número que tiene un círculo a otro que tiene un cuadrado. O al revés. Es decir, vamos alternando números que tienen un círculo con números que tienen un cuadrado.

Ahora llegó el momento interesante en donde vamos a concluir que el camino que queremos construir no puede existir. ¿Por qué? Como el total de ciudades es 11, entonces usted tendrá que dar 11 pasos para recorrerlas todas y volver a la de partida. Es importante que me siga con este último argumento. Como usted empieza “parado” en algún número, tendrá que dar en total 11 pasos hasta volver al punto inicial (que le permitirá recorrer una vez por cada ciudad que no es la de partida, pero tendrá que volver al lugar inicial). Por eso son 11 pasos. Voy a llamar (CIR) a los números que tienen un círculo y (CUA) a los que tienen un cuadrado. Digamos que empieza parado en un número que tiene un círculo (CIR), cuando da el primer paso llega a un número (CUA). Cuando da el segundo paso llega a un número con un círculo (CIR), y al seguir caminando va alternando (CIR) con (CUA). Como escribí recién, uno tiene que dar en total once pasos.

Fíjese que cada vez que dio un número par de pasos llega a un (CIR). Cuando dio un número impar de pasos, llega a un número (CUA). Y eso debería ser suficiente para convencerla/o de que el camino no va a existir. ¿Quiere pensarlo usted en soledad?

Es que como tenemos que dar once pasos, que es un número impar de pasos y empezamos en un número (CIR), llegaríamos a uno que es (CUA), y eso demuestra que el camino que queremos construir no va a existir, porque el objetivo es llegar a la misma ciudad de partida pasando una sola vez por cada ciudad/número. Por lo tanto, no importa qué camino pretendamos construir, será imposible encontrarlo.

Como se ve, la solución es verdaderamente sencilla. Todo lo que uno tiene que hacer es descubrir que el número de pasos que tiene que dar es impar, y, que si sale de un número con un “círculo”, en un número impar de pasos (que son los 11 que tenemos que dar) llegará a uno con un “cuadrado” alrededor y por lo tanto, no podrá nunca llegar a la ciudad en la que empezó. Y eso concluye la demostración.

Figura 2

El objetivo era trazar un camino que pasara por todas las ciudades una sola vez y regresar al punto de partida. Tomemos por ejemplo la ciudad que figura con el número 1. Si hubiera una sola ruta (que la comunica con 2), esa ciudad no podría estar en ningún camino intermedio porque para llegar hasta ella (la número 1) hay que pasar inexorablemente por 2, pero al salir, hay que repetir el camino de entrada y, por lo tanto, visitar la número 2 otra vez. Conclusión: la número 1 no puede ser una ciudad intermedia.

Pero casi con el mismo argumento se puede concluir que la ciudad 1 no puede ser la ciudad inicial. Si lo fuera, debería ser la final también, por lo que el camino que la une con 2 hay que recorrerlo tanto a la ida como a la vuelta, pasando dos veces por la ciudad 2.

Es decir, el error en el dibujo transformó en superfluo e innecesario tanto esfuerzo para explicar la imposibilidad de encontrar el tal camino. Mis disculpas. En todo caso, si aún tiene ganas de concederme/se una nueva oportunidad, fíjese en el dibujo correcto que acompaña esta errata y trate de demostrar que aun así es imposible encontrar una ruta que pase por todas las ciudades una sola vez y vuelva al punto de partida.

Este

 tipo de problemas forman parte de una preciosa rama de la matemática que se conoce con el nombre de Teoría de Grafos. No es este el lugar para que yo escriba sobre el tema (ni tampoco tengo la experiencia ni el conocimiento para hacerlo), pero la literatura es vasta y los resultados son espectaculares. Además, tiene una utilidad tremenda en biología, física, ingeniería, en ciencias sociales, en informática (muy especialmente), etc., etc.

La existencia o no de cierto de caminos suelen ser problemas altamente no triviales. De hecho, el 18 de mayo del 2006, apareció en la contratapa de Página/12 un problema “abierto” (o sea, sin solución aún) y que es el más famoso del mundo al respecto: el que se conoce con el nombre de El Viajante de Comercio. Cualquier persona que logre resolver el problema del Viajante de Comercio pasará a ser millonario instantáneamente, porque hay por lo menos una recompensa de un millón de dólares para quien lo resuelva, pero más importante aún (creo), se transformará en una de las personas más famosas de este siglo (en términos de reconocimiento científico, sin ninguna duda).

Para terminar, el primer artículo de esta serie que publiqué en Página/12 (el 6 de noviembre de 2005) fue justamente el que se considera el problema que dio origen a la Teoría de Grafos. Fue resuelto por uno de los matemáticos más importantes de la historia,

Leonhard Euler (1707-1783). Si le interesa, entonces, pensar problemas de este tipo, allí puede encontrar otro que también es muy famoso.

“La matemática me dio las herramientas para pensar”

 Por Andrés Valenzuela

Pocos transmiten la ciencia como Adrián Paenza. Menos aún lo logran con un tema aparentemente difícil: la matemática. Periodista todoterreno, no dejó campo en el que difundir la pasión por los números. Por televisión, por radio y en los diarios, con una columna semanal en Página/12, Paenza logró que una cantidad inusitada de gente descubra que no sólo puede entender la matemática, sino hasta disfrutarla. Por ese logro incluso recibió premios internacionales. Sus libros (los cinco de la serie Matemática… ¿estás ahí? y Matemagia, entre otros) superan el millón de ejemplares vendidos. Desde mañana, los seguidores fervorosos de Paenza podrán disfrutar una nueva serie de libros: “Matemática Siento por Ciento”, una colección de seis títulos que acompañarán domingo por medio la edición de este diario. Mañana, el primero: De-safíos para compartir (problemas buenos y breves).

En Desafíos… y los siguientes libros se recopilan distintos artículos de sus libros publicados en las editoriales Siglo XXI y Sudamericana, pero agrupados por tema. También incluirán algunos de sus planteos en televisión y en los múltiples ciclos y actividades que suele realizar. En sus textos, Paenza propone situaciones y de qué modo la matemática puede ayudar a sus protagonistas a resolverlas. Este primer volumen concentra los textos que buscan ampliar la idea general sobre qué es la matemática y aquellos que buscan estimular el pensamiento lateral del lector. Ambos ejes le sirven al autor para discutir la noción de “inteligencia” comúnmente aceptada y para proponer otro acercamiento a su disciplina científica predilecta, uno que se sostiene en lo lúdico y el disfrute antes que en las fórmulas y el hastío.

El lanzamiento de esta serie de libros resulta también ocasión ideal para una extensa entrevista con su autor, en la que demuestra que difundir la matemática es mucho más que hablar de números y que implica, entre otras cosas, pensar el rol del periodismo en la construcción de un país que abrace su ciencia.

–¿Por qué sacar estos libros? ¿Qué representa para usted?

–La idea es que en las vías de acceso a la difusión del conocimiento, cuantas más existan, mejor. Esta es una oportunidad única, salir por el diario en que escribo hace tanto tiempo es un orgullo y un honor. Fui lector de Página desde que existe y ya trabajar allí me representa mucho personalmente. Pero además es maravilloso tener una combinación de este tipo. Soy una persona muy afortunada con muchas vías de comunicación, TV, libros, pero esto es un poco la frutilla de la crema del postre. Mucha gente colaboró para que sea posible; por ejemplo la gente de Sudamericana se ha portado muy bien, han aceptado y valorado esto también. Yo pongo la cara, pero hay un montón de gente que trabaja en conjunto, que está detrás de este emprendimiento, sería una lista muy larga. Así que no puedo dar una respuesta breve sobre qué me representa.

–En toda su obra se advierte un interés por lo pedagógico, por ver cómo transmitir lo que explica. ¿Cómo se plantea su trabajo?

–En realidad no me planteé nunca este tipo de cosas. Tampoco puedo decir que un día me senté y tomé una determinación sobre divulgar ciencia o cómo hacerlo. No dije “me voy a proponer esto” y terminó pasando. Fueron alguna cantidad de cosas que me terminaron pasando. Después de que me echaron de TyC terminé trabajando en algo que no tenía previsto. No planifiqué Día D, me dieron una oportunidad que no contemplaba. Mucho menos me imaginaba esto. En el camino conocí gente muy valiosa. Apareció Claudio Martínez y me dijo “hagamos un programa de ciencia” y sucedió Científicos Industria Argentina. ¿Cuántos programas hay que se mantengan en el aire 13 años seguidos? No muchos. Mirtha Legrand, Tinelli, los noticieros, los deportivos. ¿De ciencia? Después vino Tristán Bauer con el primer libro y apareció Alterados por PI. ¿Quién hubiera imaginado no ocho, ¡una! temporada de TV de matemática? Y es una cosa maravillosa estar recorriendo el país haciendo problemas de matemática. No puedo quedarme con el crédito. Nadie puede, nadie lo imaginó ni supo que iba a pasar. Se alinearon los patitos.

–Pero hay un modo de hacer que llega al espectador y al lector.

–Me gustaría poder dar una respuesta. Soy una sola persona. Lo que hice o hago lo hago de la misma forma hablando por TV o escribiendo. Cosa que jamás imaginé tampoco, porque soy un hombre de los medios electrónicos. En la radio empecé en el ’66 y en televisión en el ’72. Se van a cumplir ya 50 de radio, una barbaridad. Siempre me expliqué de la misma forma. No lo puedo pensar como un método. Yo hablo con usted y podría estar ante una cámara y haría lo mismo. Elegiríamos los tópicos de distinta manera, supongo. Quizá la diferencia con un locutor es que a él le pagan para que diga que el producto es bueno y le importa poco si lo es, su profesión es promoverlo. A mí no me habla nadie. Si le digo que me gusta, es porque me gusta. Si me apasiona, es porque me apasiona.

–¿Y por qué le apasiona la matemática?

–Es como si le preguntara a usted por qué le apasiona pensar. La matemática me ha dado las herramientas para pensar. Imaginarme distintos escenarios, buscar planes, estrategias.

–No todo el mundo la ve así.

–La percepción de la matemática es equivocada. En todo caso, ese rechazo a la matemática es un síntoma de salud. Es muy aburrido que a uno le den respuestas a preguntas que no se hizo. Eso sucede en el colegio. Viene un docente y le cuenta al chico cómo se resuelve un problema que él no tiene. El rechazo que se produce es razonable. Y no es sólo en Argentina. Pasa en todo el mundo y en todas las generaciones. Algunos hemos logrado evadir el campo minado y encontramos que la matemática está en un lugar distinto. No es que lo otro no sea matemática, pero es como empezar el fútbol por las barreras o la música por las marchas militares. Si usted quiere convencer a alguien de jugar al fútbol, no lo seduce diciéndole “parate acá que te voy a tirar un pelotazo”. La vida de la matemática pasa por otro lugar. Tampoco le hace escuchar “Aurora” o “La marcha de San Lorenzo” a alguien para que aprecie la música, le hace escuchar a Mozart, a Los Beatles, otra cosa.

–¿Cuál es la situación de la divulgación hoy?

–Creo que esa percepción está cambiando. Se han producido modificaciones. Es un síntoma de lo que describimos antes, todas cosas que han pasado en los últimos 10 años. No son casuales. El Canal 7, que banca Científicos Industria Argentina sin importar el rating. Un canal entero dedicado al conocimiento, como Encuentro. Un Ministerio de Ciencia. Son todas cosas que yo pensé que no iba a vivir. Hay una cantidad de cosas que suceden y que uno puede elegir mirar aisladamente, pero que si se miran en conjunto se advierte que hay algo que está pasando con la sociedad.

–Hace poco publicó una serie de artículos destacando la importancia del Arsat, ¿en qué momento ve la ciencia argentina hoy?

–Yo estoy ligado con la escuela pública y la UBA desde el ’64, cuando hice el ingreso. Ya tiene ahí 50 años de vida dedicados a la universidad pública. En todo ese tiempo, nunca vivimos esto, pese a todos los contratiempos que pueda haber. Que haya gente que quiere volver al país… Importa poco si el satélite es el octavo. Ojalá todos los países pudieran lanzar su propio satélite. Pero lo promuevo porque es bueno saber que podemos. Es cosa maravillosa que el país esté en condiciones de poner un satélite en órbita. Recuerdo en su momento cuando Kirchner, en 2003, me dijo “juntáme con algunos científicos para hablar con ellos, pero no me los traigas a la Casa Rosada, vamos a Olivos”. El tenía una preocupación por saber “dónde les dolía el zapato”. Se interesó por aumentarles el salario a los becarios del Conicet. Eso también fue raro, conocí a muchos de los presidentes electos y no tengo claro que todos supieran que el Conicet tenía becarios, ni que supieran que cobraban poco. Que además de eso les importara y que encima hiciera algo para corregirlo… El me lo dijo a fines de 2003 y en marzo de 2004 ya les había aumentado un 50 por ciento. Era un aumento significativo, aunque el total todavía fuera bajo. Era una señal hacia donde miro yo, de cómo me parece que se puede pensar el país.

–Una política de ciencia.

–Esto no es visible, pero hay gente que se sienta a pensar la política científica del país, por ejemplo su política satelital. Rusia no le deja las telecomunicaciones a EE.UU., China no se las deja a Japón. Son márgenes de dependencia e independencia que se miden en otros lugares. Hay cosas que están pasando y el siglo XXI tiene que ver con la comunicación. En otra época seguramente yo hubiera bregado porque Argentina produjera medicamentos, más allá de discutir por qué deben ser pagos, si la salud es un derecho y debe ser gratuita para todos. Ahora quiero que los medicamentos se hagan en Argentina, pero también quiero que la cadena de telecomunicaciones en la medida de lo posible sea fabricada en Argentina. Por ahora no podemos lanzar un satélite porque no tenemos lanzador y por eso hubo que ir a la Guayana Francesa, pero sí esto, tener un satélite propio de telecomunicaciones.

–En este contexto, ¿cuál es el rol de los medios?

–El rol de los medios de comunicación ha cambiado mucho. Empecé a trabajar en Radio Rivadavia y de ciencia se leían los cables de France Press, AP, ANSA o lo que fuere. Nosotros divulgábamos ciencia leyendo un cable. Yo lo leía también, ¿eh? “Un laboratorio de Italia lanzó…”. Leíamos como si fuera un cuento. Hoy no, hoy los diarios nacionales tienen al menos un especialista. Página perdió a Leonardo (Moledo), pero siguen trabajando en los medios gente como Nora Bär, Diego Golombek o Valeria Román. Esto cambió y creo que la ley de medios va a fomentar que esto suceda en las provincias, que no sea centralizado en la Capital, que se come todo. Es un momento muy particular de la Argentina. De muchas tensiones, pero buenas. Son todos los dolores de crecimiento, empiezan a quedar claras las cosas escondidas. Lo que pasa pasó siempre, sólo que no se veía. Ahora está en la agenda, más allá de mi opinión. Mi opinión es una opinión. Lo que importa es que discutimos, que transmitamos lo del satélite.

–¿Qué frutos se pueden esperar a largo plazo?

–Esto está pasando, es muy difícil hacer un juicio, tener una opinión, pero creo que cuando miremos con un poco de perspectiva, veremos que se han producido muchos cambios en Argentina más allá de lo observable. Muchos intangibles que a veces la coyuntura, la pelea y los gritos, no permiten ver que son esenciales. La entrega de netbooks a los chicos es excepcional. Nosotros no tenemos dificultades de acceso a la computación, pero ahora que estoy viajando mucho, veo que en algunos lugares del país es una ventana a la vida. Eso es un cambio muy fuerte. No reconocer eso es no sólo ser injusto, sino muy insensible. Esto más allá de lo que se pueda mirar o distorsionar políticamente. Estoy seguro de que en poco tiempo enseñaremos a programar en las escuelas, y ése será un salto cualitativo importante, porque es el lenguaje no del futuro, sino del presente.

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