Blaise Pascal, Pierre de Fermat y El Caballero de Mèrè: jugadores

Imagine por un momento que se encuentra jugando una partida de dados. Usted y su contrincante juegan a escoger una cara de un único dado, y apuestan 32 euros cada uno a que la suya será la primera en salir tres veces. En un momento determinado, la partida debe interrumpirse. Si en ese instante el número que escogió usted ha salido dos veces, mientras que el de su oponente sólo una, ¿cómo debería repartirse la apuesta?

matematica

Quizá lo primero que se le ocurriría es que, como van dos a uno, los 64 euros deberían repartirse siguiendo esta proporción. Por tanto usted se llevaría dos terceras partes, 44 euros con 66 céntimos, mientras que su oponente se quedaría con los 21 euros con 33 céntimos restantes. Teniendo en cuenta que estaba a punto de ganar la partida, ¿le parece satisfactorio el reparto?

¿Y si fuera usted el que va perdiendo? Teniendo ahora en cuenta que aún podría remontar el tanteo y acabar ganando la partida ¿se conformaría con una tercera parte del dinero?

Si tiene conocimientos elementales en cálculo de probabilidades podría pensar que se trata de un problema sencillo, pero no lo es en absoluto. Que hoy en día manejemos herramientas que permiten a alumnos de secundaria resolverlo sin dificultad no significa que el problema sea fácil, simplemente que ya sabemos cómo hacerlo. Tanto es así que este fue un problema abierto durante al menos 160 años, y sus intentos de resolución desembocaron en la primera formulación de la teoría del cálculo de probabilidades. ¿Quieren averiguar cómo? Pues vamos.

Las primeras soluciones aritméticas

La primera propuesta de resolución del problema de la que se tiene constancia corresponde a Fra Luca Pacioli. En el año 1494 propone una solución utilizando una versión del problema similar a esta:

Un grupo juega a la pelota de tal modo que se necesitan un total de seis tantos para ganar el juego. La apuesta es de 22 ducados. Por algún incidente no pueden terminar el juego y un bando se queda con cinco tantos y el otro con tres. Se quiere saber qué participación del dinero del premio le corresponde a cada bando.

Pacioli pensó que, para repartir la apuesta justamente, lo que se debía tener en cuenta es qué parte del juego se había jugado ya y qué proporción de esa parte había conseguido cada equipo. Como el número máximo de tantos que se pueden conseguir son 11 (seis del que gana y cinco del que pierde), y se han conseguido ocho, considera que los 22 ducados se apuestan por estas 8/11 partes del juego en lugar de por el juego completo. Como el equipo con ventaja lleva “ganadas” 5/11 de estas 8/11 partes, la proporción del premio que merece llevarse cada uno es

\dfrac{5}{11} \div \dfrac{8}{11} =\dfrac{5}{11} \times \dfrac{11}{8}= \dfrac{5}{8}

Por tanto el equipo con ventaja se queda con 5/8 partes de 22 ducados, que son 13 ducados y tres cuartos, y el otro con 3/8 partes, ocho y cuarto. En realidad esta forma de resolver el problema es la misma que propusimos al principio pues la relación entre lo que se llevan ambos equipos responde al tanteo en el momento de suspender la partida, cinco a tres.

Posteriormente Nicolo Tartaglia se da cuenta de un fallo en la solución de Pacioli: si en el momento de parar el juego el segundo equipo no hubiera anotado ningún tanto, el primero se quedaría con toda la apuesta. En 1556 propone otra solución que supera esta dificultad.

Lo que hace es devolver al equipo que va ganando su apuesta más una parte proporcional de la del que va perdiendo. Así, la proporción adecuada sería, según Tartaglia, la diferencia de tantos entre uno y otro dividida entre los tantos a conseguir, que en este caso sería de 2/6, o mejor, de 1/3. Por tanto, al equipo que va ganando le corresponderían

11+\dfrac{1}{3} \times 11 = 14+\dfrac{2}{3}

luego se quedaría con 14 ducados y dos tercios, mientras que el que pierde se llevaría el resto, siete ducados y un tercio.

Ninguna de las soluciones convence porque ambas tienen la misma carencia: no cuentan con lo que pudiera ocurrir en las partidas que quedan por jugar.  Pero esto no era algo tan sencillo de hacer para los contemporáneos de Pacioli y Tartaglia, pues implicaba el uso de conceptos que escapaban, de lejos, del alcance de las matemáticas de la época.

Blaise Pascal, Pierre de Fermat y El Caballero de Mèrè

Casi cien años después del intento de solución de Tartaglia, el problema llega a oídos de unos tales Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y lo hace de la mano de un personaje de la época conocido como El Caballero de Méré (que aunque haya pasado a la historia como un jugador empedernido, en realidad era pensador y escritor, además de aficionado a las matemáticas) El enunciado que se propone es análogo al que vimos al principio, salvando, como es natural, que los jugadores se juegan doblones de oro en lugar de euros.

En una carta enviada a Fermat el Miércoles 29 de Julio de 1654, Pascal propone la siguiente solución:

Para conocer el valor del reparto, cuando participan dos jugadores en tres tiradas y pone cada uno 32 monedas en la apuesta:

Supongamos que el primero de ambos tiene 2 puntos y el otro 1 punto. Si, ahora, vuelven a lanzar el dado las posibilidades son tales que si el primero gana, ganará el total de monedas en la apuesta, es decir 64. Pero si es el otro el que gana, estarán 2 a 2 y en consecuencia, si desean acabar o se interrumpe el juego, sigue que cada uno tomará su apuesta, es decir 32 monedas.

Por lo tanto Señor, se ha de considerar que, si el primero gana, 64 monedas le pertenecerán y si pierde, entonces sólo le pertenecerán 32 monedas. Si no desearan jugar este punto, y desearan separarse, el primero podría argumentar “Tengo seguras 32 monedas, pues incluso si pierdo las recibiré. Las 32 restantes, quizás las gane o quizás no, el riesgo es el mismo. Por lo tanto, dividamos esas 32 restantes por la mitad, y dadme además las 32 que tengo seguras”. El primero tendrá 48 monedas y el segundo tendrá 16.

Lo que Pascal dice es que hay que tener en cuenta lo que puede ocurrir en las jugadas siguientes y calcular la parte de la apuesta que arriesga cada jugador en cada una de ellas. En la primera, el que gana se asegura 32 doblones, y en la segunda, el riesgo se reparte por igual, por lo que se han de dividir los doblones restantes en 16 y 16.

Arbol1_repartoapuesta

Este sencillo párrafo de Pascal es clave, pues no sólo da con la solución correcta, sino que utiliza, aunque probablemente sin reparar demasiado en ello, conceptos tan comunes hoy en día como el de espacio muestral, suceso aleatorio e incluso el de probabilidad condicionada(1). Habla además explícitamente de probabilidad, aunque la llama riesgo. En el intercambio de correspondencia posterior, de un tremendo interés histórico, Fermat propone recontar cada uno de los casos posibles y Pascal desarrolla para ello el cálculo de números combinatorios… casi nada.

Sin embargo no avanzan mucho más allá en lo que sería la formulación precisa de una teoría de la probabilidad, y esto no nos permite apreciar con claridad porqué este es el reparto más justo. Y es que en esta solución se esconde una idea más, un concepto que será fundamental no sólo para comprender completamente este problema, sino para el mismo desarrollo de toda una nueva teoría matemática.

Christiaan Huygens y el nacimiento del cálculo de probabilidades

No habría que esperar mucho para que otra mente privilegiada diera con esta idea. En 1655 Christiaan Huygens conoce la solución de Pascal, aunque no el método que ha seguido para encontrarla, y se propone encontrar una explicación fundamentada. Fruto de su trabajo es el tratado De ratiociniis in ludo aleae, publicado en 1657 como parte de una obra más extensa. En él construye la base teórica que da soporte a la solución de Pascal, asigna claramente probabilidades a cada uno de los casos posibles e identifica un concepto al que llama expectatio. Veamos cómo lo hizo(2).

Si suponemos que el juego continua aunque después de la primera tirada tras la interrupción el tanteo quedase tres a uno, tenemos que, pase lo que pase, el jugador que ya ha ganado sigue ganando, y además puede hacerlo con dos marcadores diferentes, 4 a 1 o 3 a 2. Si por el contrario empatan, tanto uno como otro pueden terminar ganando con la misma probabilidad, como ya sabemos. Entonces, si hacemos un recuento de los posibles resultados de realizar dos tiradas más tendremos que, de los cuatro que hay, en tres gana el jugador que llevaba ventaja y en uno el que no.

Ahora sí parece fuera de toda duda que la relación entre lo que se llevan ambos jugadores debe ser de tres a uno, y así lo que debe recibir cada jugador es

\dfrac{3}{4} \times 67 = 48 \ y \ \dfrac{1}{4} \times 67 = 16

A esto lo que Huygens llamó expectatio de cada uno de los jugadores, y hoy en día lo llamamos valor esperado o esperanza matemática de las variables aleatorias “beneficio del jugador que va ganando” y “beneficio del jugador que va perdiendo”. Y esta era la última pieza que faltaba en el rompecabezas.

Arbol2_repartoapuesta

El trabajo de Huygens es de tal importancia y tuvo tanta influencia en tratados posteriores que el propio Laplace dijo de él que era merecedor de entrar “por la puerta grande como maestro y fundador de la nueva ciencia del azar”.

Y todo por una inocente partida de dados.

Esta entrada participa en la Edición 5.1: Rey Pastor  del Carnaval de Matemáticas que se celebra en el blogTito Eliatron Dixit.

(1) Pascal no es el primero en acercarse al cálculo de probabilidades, pues en 1526 Girolamo Cardano, tratando el mismo problema, ya había intuido e incluso enunciado algunos de estos conceptos. Sin embargo su trabajo no fue publicado hasta 1663, ocho años después de la carta de Pascal a Fermat y cinco después del tratado de Huygens.

(2) En realidad la exposición de Huygens es casi idéntica a la de Pascal, con la precisión añadida que le aporta esta nueva idea. Me he tomado la libertad de reinterpretarla de una manera equivalente para que el ejemplo fuese más ilustrativo.

La idea para esta entrada surgió de un trabajo propuesto por el profesor Jerónimo Vega Guillén, de la Universidad de Sevilla, realizado en gran parte a partir del artículo Historia de un problema: el reparto de la apuesta, de Juan Antonio García Cruz, publicado en el nº 33 de febrero de 2000 de la revista SUMA

LA GRAN SOLUCIÓN DE PASCAL AL PROBLEMA DE LOS PUNTOS

(O PROBLEMA DEL JUEGO INTERRUMPIDO).

PROBABILIDAD DE OBTENER UN RESULTADO DETERMINADO EN UN ÁRBOL DE BIFURCACIONES DE EVENTOS:

Blaise Pascal, en su carta de respuesta dirigida a Pierre de Fermat, con fecha 29 de julio de 1654, le manifestó estar de acuerdo con el razonamiento y la solución propuesta por éste para el Problema de los Puntos, pero a continuación puso a consideración de Fermat la solución de la siguiente variación más compleja del Problema de los Puntos: «A y B han pactado un juego en el que una moneda es lanzada al aire en cada ronda que se juega, de tal forma que cuando cae cara gana A y cuando cae cruz gana B, y además acordaron que ganará el juego quien primero complete 3 rondas a su favor, para lo cual cada uno apostó 32 pistolas (monedas de oro francesas del siglo XVII). El juego se detiene cuando A ha ganado 2 rondas y B solamente ha ganado 1 ronda. ¿Cómo se debe distribuir entre ellos la apuesta de las 64 pistolas?». 

En este nuevo problema matemático la argumentación de Pascal para encontrar la distribución justa de la apuesta entre los jugadores es la siguiente: «… si ellos jugaran otra ronda y A ganara, éste al completar las 3 rondas se llevaría toda la apuesta, esto es, las 64 pistolas; si B ganara la ronda, entonces cada uno tendría 2 rondas a su favor, en cuyo caso, si desearan parar el juego en ese momento, cada uno debería tomar su propia apuesta por causa del empate, es decir, 32 pistolas. Entonces, tenemos que si A gana la ronda, éste se queda con las 64 pistolas, si pierde la ronda se queda sólo con 32 pistolas por empatar con B. Luego, si ellos no desean correr el riesgo de los resultados inciertos de esa última ronda y desean detener el juego, A argumentaría lo siguiente: “Estoy convencido de que me corresponden 32 pistolas, aún cuando pierda la siguiente ronda, ellas me pertenecen; con relación a las otras 32 pistolas, existen las mismas posibilidades de que sean para usted como para mí. Entonces, dividamos esas 32 pistolas en partes iguales y déme una de esas partes a mí, así como las 32 que de seguro ya son mías.” En resumen, al jugador A le corresponden 48 pistolas y al jugador B le corresponden 16 pistolas.»

En otras palabras, en esta nueva variante del Problema de los Puntos se observa que Pascal también propone que la apuesta se divida de acuerdo a las probabilidades futuras de ganar que tendrían los jugadores en caso de que el juego continuara, pero además Pascal asume que en este caso cada jugador calcula por anticipado sus probabilidades matemáticas de triunfo al momento de decidir si conviene seguir el juego o si conviene detenerlo, es decir, los jugadores aplican lo que actualmente se conoce en la Teoría de los Juegos como el «Principio Minimax o el Principio Maximin», ya que cada jugador sólo accede a tomar una determinada decisión motivado racionalmente por maximizar sus expectativas de ganancia y reducir sus expectativas de pérdida. El razonamiento de Pascal para ofrecer la solución del anterior caso analizado está basado en el análisis combinatorio y queda resumido en la siguiente tabla: 

Distribución de la apuesta según Pascal: sobre 64 pistolas apostadas.

Estado actual del juego: rondas ganadas de A y B

División de la apuesta si Agana la siguiente ronda del juego:

División de la apuesta si Bgana la siguiente ronda del juego:

División de la apuesta si A yB suspenden el juego en el estado actual:

 A = 2  y  B = 1 

A = 64  y  B = 0

A = 32  y  B = 32

A = 48  y  B = 16

Como se observa en esta tabla, si el estado actual del juego es que A tiene 2 rondas a su favor y B tiene 1 ronda ganada, y el juego será ganado por quien primero complete 3 rondas a su favor, entonces para establecer las probabilidades de triunfo de cada jugador es menester calcular de cuántas maneras posibles podrían ocurrir los resultados opuestos que favorecen a A o B en caso de que se jugaran las siguientes rondas. Así, A puede calcular que en caso de jugarse la siguiente ronda sólo pueden ocurrir dos resultados opuestos posibles: a−) que A gane, caso en el cual el juego queda 3 rondas a favor de A y 1 ronda a favor de B; y, b−) que B gane, caso en el cual el juego queda 2 rondas a favor de A y 2 rondas a favor de B produciéndose un empate que sólo puede ser dirimido mediante una nueva ronda de juego. Entonces, A tiene una probabilidad de 1/2 para ganar la siguiente ronda, y también tiene una probabilidad de 1/2 para quedar en empate con B. A su vez, si se asume que al ocurrir este empate se decide jugar una nueva ronda subsiguiente para dirimirlo, entonces también pueden ocurrir dos resultados opuestos posibles: a−) que gane A completando así las 3 rondas para quedarse con toda la apuesta; y,b−) que gane B completando así las 3 rondas para quedarse con toda la apuesta. Estas dos últimas posibilidades tienen cada una la probabilidad de 1/2 para ocurrir, pero además requieren que previamente B empate a A, opción que también tiene una probabilidad equivalente a 1/2, y por tanto, las probabilidades de triunfo para A en esta variante del juego en que es necesario jugar dos rondas son de: 1/2×1/2 = 1/4. Por consiguiente, si la interrupción ocurre cuando el estado actual del juego es de 2 rondas a favor de A y 1 ronda a favor de B, entonces A tiene una probabilidad de 1/2 para ganar en la inmediata ronda, más una probabilidad de 1/4 para ganar sólo hasta la subsiguiente ronda en caso de que antes B empatare (1/2×1/2 = 1/4), es decir, las probabilidades acumuladas de triunfo de A para los dos escenarios son de: 1/2 (ganar en la siguiente ronda) + 1/4 (ganar hasta la subsiguiente ronda) = 3/4.

En contraste, B para ganar el juego sólo tiene una probabilidad equivalente a 1/4, suponiendo que primero logra el empate en la inmediata ronda (que tiene una probabilidad de 1/2), y que en la subsiguiente ronda por segunda vez logra ganar (que también tiene una probabilidad de 1/2), y por tanto la probabilidad acumulada de triunfo de su única combinación favorable es de: 1/2 (ganar en la siguiente ronda) × 1/2 (ganar hasta la subsiguiente ronda) = 1/4.

Como la apuesta debe ser distribuida equitativamente con fundamento en las probabilidades de triunfo de cada jugador, y si los jugadores deciden terminar el juego cuando el resultado está 2 rondas a favor de A y 1 ronda a favor de B, entonces a A por sus probabilidades acumuladas de triunfo le corresponde recibir 3/4 partes de las 64 pistolas, es decir, 48 pistolas (porque: 64×3/4 = 192/4 = 48), mientras que a B por su única probabilidad de triunfo le corresponde recibir 1/4 parte de las 64 pistolas, es decir, 16 pistolas (porque: 64×1/4 = 64/4 = 16).

Pascal advirtió que este tipo de problema conduce hacia un nuevo campo del análisis combinatorio en el cual lo importante es determinar las múltiples formas como dos eventos opuestos (que la ronda la gane A o que la ronda la gane B) pueden ocurrir en distintos momentos del tiempo, teniendo en cuenta que cada ronda jugada puede producir como resultado únicamente esos dos eventos opuestos, y considerando que según el resultado ocurrido puede ser necesario jugar una nueva ronda que a su vez también puede producir esos dos únicos eventos opuestos, lo cual conduce a una complejo árbol de bifurcaciones en los resultados de cada ronda que crece como una progresión geométrica, tal como se muestra en la siguiente tabla: 

Distribución de los posibles resultados entre A y B en varias rondas de juego:
0 (0−0)
1º  (1−0) (0−1)
2º  (2−0) (1−1) (1−1) (0−2)
3º  (3−0) (2−1) (2−1) (1−2) (2−1) (1−2) (1−2) (0−3)
4º  (4−0) (3−1) (3−1) (2−2) (3−1) (2−2) (2−2) (1−3) (3−1) (2−2) (2−2) (1−3) (2−2) (1−3) (1−3) (0−4)
=   La ronda la gana A
=   La ronda la gana B

La anterior tabla muestra una situación inicial cero (0) en la cual A y B tienen cada uno cero puntos (0−0) porque todavía no se ha jugado ninguna ronda. En la primera ronda que se juega pueden ocurrir únicamente dos resultados opuestos señalados con distinto color: que gane A, caso en el cual el puntaje es (1−0), o que gane B, caso en el cual el puntaje es (0−1). Luego, en la segunda ronda a su vez respecto de cada uno de los dos resultados previos se pueden producir dos resultados opuestos, por tanto, si en la primera ronda ganó A quedando con un puntaje de (1−0), entonces en la segunda ronda podría volver a ganar quedando con un puntaje de (2−0) o también podría perder esa ronda quedando con un puntaje de (1−1), y cada uno de esos dos resultados ocurridos a su vez se bifurca en otras dos posibles opciones en caso de que se juegue la tercera ronda, y lo mismo ocurre cuando se avanza a la cuarta ronda, y así sucesivamente cuantas más rondas se jueguen. Y si en la primera ronda quien ganó fue B quedando con un puntaje de (0−1), entonces en la segunda ronda podría volver a ganar quedando con un puntaje de (0−2), pero también podría perder quedando con un puntaje de (1−1), y a su vez cada uno de estos dos últimos resultados opuestos conduce a nuevas bifurcaciones en los resultados que también llevan a más bifurcaciones entre más rondas se jueguen.

Respecto de este problema a Pascal lo que más le interesaba era encontrar un procedimiento matemático que permitiera calcular la cantidad de posibles combinaciones como podrían ocurrir los resultados opuestos del juego entre más rondas se jueguen y calcular la probabilidad de triunfo que le corresponde a cada jugador dependiendo de las rondas que tiene a su favor y dependiendo de las rondas que le hacen falta ganar para concluir el juego, pues para Pascal es evidente que en cada ronda la probabilidad para que ocurra cada resultado opuesto es de 1/2, y entre más rondas se jueguen la probabilidad de llegar a un determinado puntaje entre A y B se debe calcular multiplicando 1/2 por sí mismo tantas rondas se jueguen, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Distribución de la probabilidad de los resultados entre A y B en varias rondas de juego:

0

(0−0)

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

Distribución de los posibles resultados entre A y B en varias rondas de juego:
0 (0−0)
1º  (1−0) (0−1)
2º  (2−0) (1−1) (1−1) (0−2)
3º  (3−0) (2−1) (2−1) (1−2) (2−1) (1−2) (1−2) (0−3)
4º  (4−0) (3−1) (3−1) (2−2) (3−1) (2−2) (2−2) (1−3) (3−1) (2−2) (2−2) (1−3) (2−2) (1−3) (1−3) (0−4)
=   La ronda la gana A
=   La ronda la gana B

Claramente se observa en estas tablas que para que en un juego pactado a 4 rondas, en el cual A y B inician con cero puntos (0−0), se produzca un puntaje final en el cual A queda con 4 rondas a su favor y B queda con 0 rondas a su favor (4−0), la probabilidad de ocurrencia de ese evento a través de las diversas bifurcaciones ocurridas desde la primera hasta la cuarta ronda es de: 1/2×1/2×1/2×1/2 = 1/16; es decir, es previsible que al final de las 4 rondas de juego se puede presentar entre A y B cualquiera de las siguientes 16 distintas situaciones finales en cuanto al puntaje que cada uno obtiene: (4−0), (3−1), (3−1), (2−2), (3−1), (2−2), (2−2), (1−3), (3−1), (2−2), (2−2), (1−3), (2−2), (1−3), (1−3), (0−4); y de estas 16 situaciones finales sólo una cumple la condición de permitir que el juego quede 4 rondas a favor de A y 0 rondas a favor de B [la situación (4−0)]. Pero para Pascal es evidente que el cálculo se vuelve mucho más complejo si el problema consiste en que ambos jugadores ya tienen determinado puntaje en su haber y les hace falta a cada uno un determinado número de rondas para ganar, sin que exista un límite fijo en cuanto a la cantidad de rondas futuras que se podrían jugar hasta que se alcance la meta final del juego, es decir, cuando el juego puede ser ganado por quien primero complete el puntaje faltante sin importar las rondas de juego que necesite jugar para lograrlo, lo cual implica hacer una sumatoria de todas las probabilidades acumuladas de las distintas combinaciones de puntajes entre A y B que pueden ocurrir a través de las rondas jugadas teniendo en cuenta aquellas combinaciones de puntajes que le permiten a cada jugador ganar el juego antes de que lo logre su contrincante.

EL CAMINO DEL ANÁLISIS EXHAUSTIVO DE LAS PROBABILIDADES: 

Pierre de Fermat en una nueva carta abordó estas cuestiones sugeridas previamente por Pascal, y para resolverlas planteó el siguiente problema: «A y B juegan a lanzar una moneda, de tal manera que cuando cae la cara gana A y cuando cae la cruz gana B, y acuerdan que el juego lo ganará quien primero complete 4 rondas a su favor, pero el juego se detiene cuando A tiene 2 rondas a su favor y B tiene 1 ronda a su favor: ¿Cómo se pueden determinar las probabilidades de cada jugador para efectos de la distribución equitativa de la apuesta teniendo en cuenta que a A le hacen falta 2 rondas para ganar y a B le hacen falta 3 rondas para el triunfo?».

Fermat sabe que el eje de este problema es determinar la cantidad de posibles combinaciones en los resultados que pueden ocurrir a través de las ramificaciones o bifurcaciones en cada nueva ronda jugada y que conducen a situaciones en las que puede ganar tanto A como B. Así, Fermat concluye que teniendo en cuenta que A tiene 2 rondas a su favor y B tiene sólo 1 ronda a su favor, entonces se puede jugar como máximo hasta 4 rondas más para que alguno de los dos gane definitivamente al completar las 4 rondas a su favor: perfectamente es posible que se presente una situación en la cual las siguientes 2 rondas las gane B completando 3 puntos a su favor y sólo las siguientes 2 rondas las gane A completando los 4 puntos para ganarle a B. Por consiguiente, el problema se centra en establecer de cuántas maneras posibles pueden ocurrir los resultados opuestos dentro de esas 4 rondas futuras, pues pueden existir combinaciones de resultados en esas 4 rondas en las cuales A logra completar primero las 2 rondas que necesita para ganar la apuesta, pero también pueden existir combinaciones de resultados en esas 4 rondas en las que B logra completar primero las 3 rondas que necesita para ganar la apuesta. Fermat presenta en su carta la siguiente tabla en la que incluye la totalidad de las distintas combinaciones posibles que pueden ocurrir entre los resultados del juego, señalando el número de rondas jugadas y las que son ganadas por A o por B: 

Ronda

Combinaciones posibles entre los resultados en 4 rondas de juego:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

A

A

A

A

B

A

A

B

A

B

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

A

A

B

B

B

B

 

A favor de A

A favor de B

Observando esta tabla Fermat advierte que pueden presentarse 16 combinaciones diferentes entre los resultados que aparecen a favor de A o a favor de B durante las 4 rondas de juego, y de todas esas combinaciones las 11 primeras le permiten a A ganar las 2 rondas que le hacen falta para completar 4 rondas a su favor antes de que Bgane las 3 rondas que necesita para completar las 4 rondas a su favor, es decir, en este caso la probabilidad de triunfo a favor de A es de 11/16, mientras que la probabilidad de triunfo de B es de 5/16 porque sólo puede ganar con las combinaciones representadas en las columnas 12, 13, 14, 15 y 16. Obviamente A gana si durante las 4 rondas de juego se presenta una combinación de resultados como la señalada en la columna 10 (B−A−B−A) que le permite alcanzar 4 rondas a su favor antes que B, y en cambio B gana si se presenta una combinación de resultados como la señalada en la columna 13 (B−B−A−B) que le permite completar las 4 rondas a su favor antes que A. Así, Fermat concluye que si la victoria corresponde a quien primero logra 4 rondas a su favor, y el juego se suspende cuando A tiene 2 rondas a su favor y B sólo tiene 1 ronda, entonces la apuesta debe distribuirse de acuerdo a las probabilidades de triunfo de cada jugador respecto de las 16 formas posibles como podrían transcurrir los resultados de las siguientes rondas de juego, y por tanto a A le corresponde una 11/16 parte del pozo y a B sólo le corresponde una 5/16 parte del pozo apostado. Es decir, si en la apuesta cada jugador colocó 50 pistolas para formar un pozo de 100 pistolas, entonces a A de ese pozo le corresponden 68,75 pistolas (porque: 100×11/16 = 1.100/16 = 68,75), mientras que a B de ese pozo le corresponden 31,25 pistolas (porque: 100×5/16 = 500/16 =31,25). 

PRIMERA FÓRMULA PROPUESTAS POR PASCAL PARA EL CÁLCULO DE COMBINACIONES:

Pascal en su nueva carta de respuesta está de acuerdo con Fermat en la solución señalada por él para el último problema mencionado, pero considera que es demasiado tedioso y engorroso en cada ocasión el tener que elaborar tablas para visualizar de manera exhaustiva las diferentes combinaciones de los resultados esperados que pueden ocurrir a lo largo de las numerosas rondas jugadas, y por tanto Pascal propuso una fórmula matemática general aplicable para poder calcular la probabilidad de ocurrencia de todas las posibles combinaciones de resultados a favor de A o de B, independientemente del puntaje que cada uno tenga al momento de la interrupción del juego e independientemente de la cantidad de rondas que se jueguen o se deban jugar.

En primer lugar, Pascal considera que en todos estos casos siempre los resultados se refieren a dos posibles eventos opuestos: que gane A o que gane B. En una serie de rondas esos dos resultados pueden ocurrir asumiendo múltiples combinaciones entre sí, por ejemplo, en una serie de 5 rondas jugadas los resultados podrían ser: A−A−A−A−A, o A−B−A−B−A, o B−B−B−B−A, o B−B−A−A−A, etc. Como se observa, es posible que en una serie de 5 rondas el resultado favorable a un jugador no aparezca ni una vez, o aparezca 1 sola vez, o aparezca 2 veces, o aparezca 3 veces, etc. Si en una serie de 5 rondas jugadas un resultado aparece 1 sola vez, hay diversas combinaciones como podría ocurrir esa única aparición de ese resultado: A−B−A−A−A, o A−A−A−B−A, o A−A−A−A−B, o B−A−A−A−A, etc. Y si en una serie de 5 rondas un resultado aparece 3 veces, hay diversas combinaciones como podrían ocurrir esas 3 apariciones: A−B−B−A−B, o A−A−B−B−B, o B−A−B−A−B, o B−B−A−B−A, etc.

El problema radica entonces en calcular cuántas combinaciones se pueden formar cuando hay una serie conformada por un número establecido de rondas y se espera que dentro de ese número de rondas un determinado resultado aparezca 0 veces, 1 vez, 2 veces, 3 veces, etc., hasta el límite fijado por la misma cantidad de rondas a jugar que forman la serie pactada entre los jugadores. Pascal advirtió que este tipo de problema en el fondo es similar a resolver una expresión binomial del tipo (a+b)n, en la cual la expresión a+b representa la sumatoria de todas las combinaciones posibles entre los resultados opuestos que pueden ocurrir durante el juego, mientras que el exponente n representa la cantidad de rondas a jugar. En consecuencia, para hacer el cálculo de las posibles combinaciones totales que pueden ocurrir en la aparición de dos resultados opuestos dentro de una serie de rondas jugadas, Pascal propone la siguiente fórmula matemática: 

nCr  =  n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) … (n − r +1)
  r × (r − 1) × (r − 2) × (r − 3)  … (r − r + 1)

En esta fórmula la letra n equivale a la cantidad de rondas a jugar, la letra C indica que se trata del cálculo de una combinación, y la letra r indica la cantidad de apariciones que tiene un resultado dentro de la cantidad de rondas a jugar. Así, por ejemplo, si la expresión es 5C2, indica que en la operación se calcula cuántas combinaciones puede formar un resultado que aparece 2 veces dentro de 5 rondas, y si la expresión es 5C4, indica que se calcula cuántas combinaciones puede formar un resultado que aparece 4 veces dentro de 5 rondas, y la expresión 9C3 indica que se calcula cuántas combinaciones puede formar un resultado que aparece 3 veces dentro de 9 rondas jugadas. La cantidad n de rondas a jugar se multiplica por sí misma reducida en una unidad tantas veces sean la cantidad de los resultados r que son esperados aumentados en una unidad, y el guarismo obtenido se divide sobre el producto que se obtiene al multiplicar la cantidad de resultados r por sí misma reducida en una unidad tantas veces sea la cantidad de resultados r esperados restada por sí misma más una unidad. Si r es igual a cero (0), entonces el total de combinaciones se obtiene dividiendo a n por sí misma. Y si r es igual a uno (1), entonces el total de combinaciones se obtiene dividiendo a n por uno (1).

Unos cuantos ejemplos clarifican la aplicación de la fórmula. Supongamos que se van a jugar 5 rondas y se desea saber cuántas combinaciones se pueden formar si se espera que dentro de tales rondas aparezca 2 veces un determinado resultado, es decir, el cálculo es 5C2, en tal caso, al reemplazar los términos de la fórmula se obtiene: 

5C2 =  5 × (5 − 1) … hasta (5 − 2 + 1 = 4) =
  2 × (2 − 1) …  hasta (2 − 2 + 1 = 1)
5C2 = 

5 × 4

=

20

=

10
 

2 × 1

2

 

Es decir, este resultado de la fórmula indica que existen 10 combinaciones distintas como un resultado determinado puede aparecer 2 veces dentro de 5 rondas jugadas: (1−1−0−0−0), (0−1−1−0−0), (0−0−1−1−0), (0−0−0−1−1), (1−0−0−0−1), (1−0−1−0−0), (0−1−0−1−0), (0−0−1−0−1), (1−0−0−1−0), (0−1−0−0−1).

Y si se desea saber cuántas combinaciones se pueden formar si se espera que dentro de 5 rondas aparezca 3 veces un resultado (5C3), entonces se obtiene: 

5C3 =  5 × (5 − 1) × (5 − 2) … hasta (5 − 3 + 1 = 3) =
  3 × (3 − 1) × (3 − 2) … hasta (3 − 3 + 1 = 1)
5C3 = 

5 × 4 × 3

=

60

=

10
 

3 × 2 × 1

6

 

Es decir, también existen 10 combinaciones distintas como un resultado determinado puede aparecer 3 veces dentro de 5 rondas jugadas: (1−1−1−0−0), (0−1−1−1−0), (0−0−1−1−1), (1−0−0−1−1), (1−1−0−0−1), (1−0−1−0−1), (1−1−0−1−0), (0−1−1−0−1), (1−0−1−1−0), (0−1−0−1−1).

Y por supuesto, puede haber cálculos que arrojan un número muy elevado de combinaciones posibles, como cuando se desea saber cuántas combinaciones se pueden formar si se espera que dentro de 37 rondas de juego aparezca 3 veces un determinado resultado (37C3), caso en el cual se obtiene que: 

37C3 =  37 × (37 − 1) × (37 − 2) … hasta (37 − 3 + 1 = 35) =
  3 × (3 − 1) × (3 − 2) … hasta (3 − 3 + 1 = 1)

 

37C3 = 

37 × 36 × 35

=

46.620

=

7.770
 

3 × 2 × 1

6

 

Dentro de 37 rondas de juego un resultado determinado podría aparecer 3 veces abarcando 7.770 posibles combinaciones diferentes, alternándose en cada una de esas combinaciones de diversa manera con el resultado opuesto.

APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE PASCAL AL PROBLEMA DE LOS PUNTOS:

Con esta herramienta de cálculo combinatorio Pascal en su carta retoma el problema planteado por Fermat: «A y Bjuegan a lanzar una moneda, de tal manera que cuando cae la cara gana A y cuando cae la cruz gana B, y acuerdan que el juego lo ganará quien primero complete 4 rondas a su favor, pero el juego se detiene cuando Atiene 2 rondas a su favor y B tiene 1 ronda a su favor: ¿Cómo se pueden determinar las probabilidades de cada jugador para efectos de la distribución equitativa de la apuesta teniendo en cuenta que a A le hacen falta 2 rondas para ganar y a B le hacen falta 3 rondas para el triunfo?»

Fermat concluyó que a A le corresponde una 11/16 parte del pozo y a B sólo le corresponde una 5/16 parte del pozo apostado según sus respectivas probabilidades de triunfo, pero para llegar a tal conclusión Fermat tuvo que elaborar una tabla abarcando todas las posibles combinaciones de los resultados que pueden ocurrir en las siguientes 4 rondas que sería necesario jugar para dirimir la apuesta.

Pascal, basado en su fórmula de cálculo combinatorio, considera que para determinar la cantidad total de posibles combinaciones que se pueden formar al aparecer un determinado resultado n veces dentro de las 4 rondas a jugar, basta realizar una sumatoria de todas las combinaciones posibles cuando el resultado aparece 0 veces, 1 vez, 2 veces, 3 veces y 4 veces dentro de las 4 rondas a jugar, es decir, se debe calcular: 4C0+4C1+4C2+4C3+4C4 = total de combinaciones posibles. Al realizar estas operaciones se obtienen las siguientes cifras: 

4C0 = 

4

=

1
 

4

 

 

4C1 = 

4

=

4
 

1

 

 

4C2 = 

4 × 3

=

12

=

6
 

2 × 1

2

 

 

4C3 = 

4 × 3 × 2

=

24

=

4
 

3 × 2 × 1

6

 

 

4C4 = 

4 × 3 × 2 × 1

=

24

=

1
 

4 × 3 × 2 × 1

24

 

Estas operaciones señalan que en total existen 16 posibles combinaciones como podrían aparecer los resultados opuestos durante las siguientes 4 rondas del juego: 4C0+4C1+4C2+4C3+4C4 = 1+4+6+4+1 = 16. Y lo mejor es que cada resultado obtenido coincide con las combinaciones señaladas en la tabla que usó Fermat para solucionar el problema:

Ronda

Combinaciones posibles entre los resultados en 4 rondas de juego:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

A

A

A

A

B

A

A

B

A

B

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

A

A

B

B

B

B

 

A favor de A

A favor de B

Así, según la aplicación de la fórmula y según la anterior tabla, desde la perspectiva de A existe 1 sola combinación en la cual durante las 4 rondas a jugar obtiene 0 aciertos (4C0) a su favor: B−B−B−B. Del mismo modo, existen 4 combinaciones posibles en las cuales A durante las 4 rondas a jugar obtiene 1 sólo acierto (4C1) a su favor: A−B−B−B, o B−A−B−B, o B−B−A−B, o B−B−B−A. También existen 6 combinaciones posibles en las cuales A durante las 4 rondas obtiene 2 aciertos (4C2) a su favor: A−A−B−B, o B−A−A−B, o B−B−A−A, o A−B−B−A, o A−B−A−B, oB−A−B−A. Del mismo modo existen 4 combinaciones posibles en las cuales A durante las 4 rondas obtiene 3 aciertos (4C3) a su favor: A−A−A−B, o B−A−A−A, o A−B−A−A, o A−A−B−A. Y finalmente, existe 1 sola combinación en la cual A durante las 4 rondas a jugar obtiene 4 aciertos (4C4) a su favor: A−A−A−A.

Con fundamento en esta información la solución del problema resulta muy evidente para Pascal, ya que en el problema planteado A tiene 2 rondas a su favor y por tanto necesita acertar en 2 rondas más para ganar, por tanto, para determinar sus probabilidades de éxito sobre las 16 posibles combinaciones de resultados que puede tener el juego durante las siguientes 4 rondas se debe tener en cuenta que a A no le sirve para ganar aquella única combinación en que no logra ningún acierto a su favor (4C0) porque en tal caso quedaría con las mismas 2 rondas que ya tiene, tampoco le sirven para ganar aquellas 4 combinaciones en que sólo logra 1 acierto a su favor (4C1) porque en tal caso quedaría sólo con 3 rondas a su favor, pero en cambio si le sirven para ganar el juego las 6 combinaciones en que obtiene 2 aciertos a su favor (4C2), al igual que las 4 combinaciones en que obtiene 3 aciertos a su favor (4C3) y aquella única combinación en que obtiene 4 aciertos a su favor (4C4), es decir, de las 16 combinaciones posibles A tiene a su favor: 6+4+1 = 11 combinaciones, y por tanto sus probabilidades de triunfo son de 11/16, solución que coincide con la señalada por Fermat en la tabla que él elaboró.

En contraste, desde la perspectiva de B existe 1 sola combinación en la cual durante las 4 rondas a jugar obtiene 0 aciertos (4C0) a su favor: A−A−A−A. Del mismo modo, existen 4 combinaciones en las cuales B durante las 4 rondas a jugar obtiene 1 sólo acierto (4C1) a su favor: A−A−A−B, o B−A−A−A, o A−B−A−A, o A−A−B−A. También existen 6 combinaciones en las cuales B durante las 4 rondas obtiene 2 aciertos (4C2) a su favor: A−A−B−B, o B−A−A−B, o B−B−A−A, o A−B−B−A, o A−B−A−B, o B−A−B−A. Del mismo modo existen 4 combinaciones en las cuales B durante las 4 rondas a jugar obtiene 3 aciertos (4C3) a su favor: A−B−B−B, o B−A−B−B, o B−B−A−B, o B−B−B−A. Y finalmente, existe 1 sola combinación en la cual B durante las 4 rondas a jugar obtiene 4 aciertos (4C4) a su favor: B−B−B−B. Como B sólo tiene 1 ronda a su favor y por tanto necesita acertar mínimo en 3 rondas más para llegar a 4 rondas y ganar antes que A, entonces sólo le sirven las 4 combinaciones en que dentro de las 4 rondas logra 3 aciertos (4C3) porque así llega a un puntaje de 4 rondas mientras que A se queda en un puntaje de 3 rondas, y también le sirve aquella combinación en que dentro de las 4 rondas obtiene 4 aciertos (4C4) a su favor, es decir, en total de las 16 combinaciones posibles B sólo tiene a su favor: 4+1 = 5 combinaciones, y por tanto sus probabilidades de triunfo son de 5/16, como también lo había señalado Fermat en su tabla. 

LA SIMETRÍA INVERSA EN LAS COMBINACIONES POSIBLES DE RESULTADOS OPUESTOS:

Al aplicar la fórmula de cálculo combinatorio propuesta por Pascal se logra saber cuál es la cantidad total de posibles combinaciones entre los resultados opuestos que pueden ocurrir durante las 4 rondas que faltan del juego, y en adelante lo único que se necesita para calcular las probabilidades de éxito de cada jugador es establecer el número de esas combinaciones que los favorecen según el puntaje con que ya cuentan.

En este sentido Pascal advirtió que los anteriores resultados se pueden apreciar en orden inverso y simétricosegún sea el interés de A o de B. Es decir, si a A para triunfar le resulta muy conveniente obtener 4 resultados a su favor durante las 4 rondas de juego (4C4), que equivale a la combinación A−A−A−A, desde la perspectiva de B tal combinación es observada como si fuera un 4C0, porque dentro de esa combinación B no obtiene un solo resultado favorable durante las 4 rondas de juego; y de la misma manera, si para B es muy conveniente obtener 4 resultados a su favor durante las 4 rondas de juego (4C4), que equivale a la combinación B−B−B−B, desde la perspectiva de A tal combinación es observada como si fuera un 4C0, porque dentro de esa combinación A no obtiene un solo resultado favorable durante las 4 rondas de juego.

La simetría inversa entre las posibles combinaciones opuestas que favorecen a A o a B se observa en las siguientes tablas, en las cuales con color verde oliva se han señalado las combinaciones que favorecen a A y las que favorecen a B:

Ronda

Combinaciones posibles entre los resultados (nCr) favorables a A:

4C4

4C3

4C2

4C1

4C0

A

A

A

A

B

A

A

B

A

B

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

A

A

B

B

B

B

TOTAL

1

4

6

4

1

 

Ronda

Combinaciones posibles entre los resultados (nCr) favorables a B:

4C0

4C1

4C2

4C3

4C4

A

A

A

A

B

A

A

B

A

B

B

B

B

B

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

B

A

B

B

B

A

B

B

A

A

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

A

A

B

B

B

A

A

A

A

B

B

B

B

TOTAL

1

4

6

4

1

Así, si A ya tiene 2 rondas a su favor y le hacen falta otras 2 rondas para ganar, mientras que B sólo tiene 1 ronda a su favor y le hacen falta 3 rondas para ganar, entonces la aplicación de la fórmula de Pascal indica que a partir de ese momento del juego pueden ocurrir 16 combinaciones posibles entre los resultados opuestos. En este conjunto de combinaciones a A lo favorece la única combinación en que durante las 4 rondas obtiene 4 resultados a su favor (4C4), más las 4 combinaciones en que durante las 4 rondas obtiene 3 resultados a su favor (4C3), más las 6 combinaciones en que durante las 4 rondas obtiene 2 resultados a su favor (4C2), es decir, hay un total de 11 combinaciones que favorecen a A permitiéndole obtener 4 rondas a su favor antes que B. Por su parte, a B sólo lo favorece para ganarle a A la única combinación en que durante las 4 rondas obtiene 4 resultados a su favor (4C4), más las 4 combinaciones en que durante las 4 rondas obtiene 3 resultados a su favor (4C3), es decir hay un total de 5 combinaciones que favorecen a B permitiéndole obtener 4 rondas a su favor antes que A.

EL TRIÁNGULO DE PASCAL EN EL CÁLCULO DE LAS COMBINACIONES:

Pero Pascal no se conformó sólo con proponer la anterior fórmula general para aplicarla al análisis combinatorio y al cálculo de probabilidades sin que sea necesaria la elaboración previa de tablas exhaustivas de combinaciones para obtener la respectiva solución frente a un problema específico, sino que además Pascal señaló que los números de combinaciones que se obtienen cuando se calculan todas las formas posibles como un determinado resultado puede aparecer dentro de una cantidad de rondas (por ejemplo: 4C0+4C1+4C2+4C3+4C4) son iguales a los que conforman el hoy denominado «Triángulo de Pascal» o «Pirámide de Pascal», que primero fue usada por él para resolver las expresiones binomiales del tipo (a+b)n. De este modo, Pascal en su última misiva dirigida a Fermat también le propuso que para simplificar los cálculos se podían usar los valores de ese Triángulo para encontrar de forma más fácil las probabilidades de triunfo de cada jugador, dentro de una relación que se entiende siempre es binomial, independientemente de la cantidad de rondas que aún deban ser jugadas para definir al ganador. 

El denominado «Triángulo de Pascal» en verdad ya era conocido y usado en la Antigüedad y en la Edad Media por los sabios y los matemáticos de Persia, India, China y Arabia, e incluso durante el Renacimiento llegó a ser usado por Niccoló Tartaglia y por Gerolamo Cardano, y en el siglo XVII despertó un gran interés en Pascal que lo estudió a profundidad.

Este triángulo se puede construir usando diversas figuras geométricas que son agrupadas entre sí para formar una pirámide de varias casillas vacías, tales como los triángulos, los cuadrados o los hexágonos que se observan en la imagen.

En la casilla de la primera fila superior de la pirámide, que corresponde a la fila del valor cero (0), se coloca el número 1, y luego en las siguientes filas en orden descendente el número 1 es colocado en cada una de las casillas de los extremos opuestos que forman los lados del triángulo de la pirámide. A continuación las casillas vacías de la mitad del triángulo son llenadas de arriba hacia abajo, para lo cual siempre se suman los dos números de las casillas contiguas de la fila superior y el resultado se coloca en la casilla vacía de la fila inferior que queda ubicada justo en medio de las dos casillas anteriores superiores, y el mismo procedimiento se aplica para ir descendiendo y llenando las demás casillas vacías de las filas inferiores hasta el infinito, teniendo en cuenta los resultados numéricos previos de las casillas superiores, tal como se observa en la imagen. 

Siguiendo el procedimiento antes señalado se puede obtener una gran pirámide como la que se observa en esta imagen, en la cual los resultados numéricos de las filas inferiores siempre deben su existencia a los resultados numéricos de las filas superiores, es decir, la lógica de funcionamiento de esté triángulo está sustentada desde arriba hacia abajo y no desde abajo hacia arriba: ¡Como suelen decir por ahí, la iluminación siempre viene desde arriba hacia abajo y no en sentido inverso!. En la imagen se observan todos los resultados obtenidos desde la fila 0 hasta la fila 16, pero a partir de los resultados numéricos señalados en las casillas de la última fila es posible calcular los resultados que deberán ir en las casillas de la fila 17, y así sucesivamente para prolongar el triángulo hasta el infinito. 

Binomio

TRIÁNGULO DE PASCAL EN SOLUCIÓN DE BINOMIOS 

(a + b)0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a + b)1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(a + b)2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(a + b)3

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

(a + b)4

 

 

 

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

 

 

 

(a + b)5

 

 

 

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

 

 

 

(a + b)6

 

 

 

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

 

 

 

(a + b)7

 

 

1

 

7

 

21

 

35

 

35

 

21

 

7

 

1

 

 

(a + b)8

 

1

 

8

 

28

 

56

 

70

 

56

 

28

 

8

 

1

 

(a + b)9

1

 

9

 

36

 

84

 

126

 

126

 

84

 

36

 

9

 

1

Pascal en su obra titulada Traité du triangle arithmétique (1655) analizó la utilidad del anterior triángulo para resolver los binomios, tal como se muestra en la anterior tabla. Por ejemplo, el binomio (a+b)7 que aparece en la tabla se puede expresar en términos coeficientes aplicando la secuencia de los números que aparecen en la misma fila de la tabla: 172135352171; por lo tanto, la solución de ese binomio al aplicar los anteriores números es:

(a+b)7 = 1a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+1b7.

Pero además Pascal descubrió lo útil que era el uso de este triángulo para calcular las probabilidades y solucionar casos de análisis combinatorio como el planteado en el Problema de los Puntos.

Esta imagen muestra la manera como Pascal combinó los números de su triángulo con los resultados que arrojaba la aplicación de la fórmula nCr para el cálculo de las probabilidades. Así, retomando el problema planteado por Fermat, tenemos que A tiene 2 rondas a su favor y B tiene 1 ronda a su favor cuando se suspende el juego, y por tanto ambos necesitan sumar más rondas a su favor para completar las 4 requeridas para poder ganar la apuesta. Pascal considera que el primer paso a seguir para usar el triángulo es determinar en cuál fila se debe centrar la atención del analista, aspecto que está condicionado por el número de posibles rondas que aún deberían jugarse hasta que haya un ganador. Este aspecto lo soluciona Pascal contabilizando y sumando las rondas que le hacen falta a cada jugador para ganar la apuesta, y al resultado se le resta una unidad, con lo cual se obtiene la cantidad máxima de rondas que aún hace falta jugar para que haya un ganador definitivo. Así, en el problema planteado a Ale hacen falta 2 rondas a su favor para ganar y a B le hacen falta 3 rondas a su favor para obtener el triunfo, y al aplicar el procedimiento de Pascal esto indica que aún hace falta jugar como máximo 4 rondas más para que haya un ganador definitivo, ya que: 2+3 = 5−1 = 4 rondas faltantes. Por tanto, la mirada del analista debe centrarse en la fila de la ronda 4º del triángulo, en cuyas casillas aparecen los resultados 1−4−6−4−1 que sumados arrojan un total de 16, cifras las cuales a su vez se corresponden con los resultados que arroja la sumatoria de la fórmula propuesta por Pascal: 4C0+4C1+4C2+4C3+4C4 = 1+4+6+4+1 = 16 combinaciones posibles.

Ahora, supongamos que se trata del mismo juego en el cual gana quien primero complete 4 rondas a su favor, pero el juego se suspende cuando A tiene 3 rondas a su favor y B sólo tiene 1 ronda ganada. En tal caso, fácilmente se puede establecer que el total de máximas rondas pendientes de juego para que haya un ganador definitivo es 3, ya que al tener en cuenta la sumatoria de las rondas que le hacen falta a cada jugador para ganar restada en una unidad se obtiene que: 1+3 = 4−1 = 3. Por tanto, si se usa el Triángulo de Pascal, la atención del analista debe centrarse en la fila de la ronda 3º, en cuyas casillas aparecen los resultados 1−3−3−1, que sumados arrojan un total de 8 posibles combinaciones como podrían aparecer los resultados a favor de A o de B durante las siguientes 3 rondas por jugar para definir al ganador, resultado que es el mismo que se obtiene cuando se aplica la fórmula general propuesta por Pascal:

3C0 = 

3

=

1
 

3

 

 

3C1 = 

3

=

3
 

1

 

 

3C2 = 

3 × 2

=

6

=

3
 

2 × 1

2

 

 

3C3 = 

3 × 2 × 1

=

6

=

1
 

3 × 2 × 1

6

 

De este modo, en el nuevo ejemplo analizado la sumatoria 3C0+3C1+3C2+3C3 arroja como resultado 1+3+3+1 = 8 combinaciones posibles como pueden aparecer los resultados a favor de A o de B durante las siguientes 3 rondas a jugar, las cuales se observan en esta tabla:

Ronda

Combinaciones posibles entre los resultados:

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A

A

B

A

B

B

B

A

A

B

A

B

A

B

B

A

B

A

A

B

B

A

B

 

A favor de A

A favor de B

Si A ya tiene 3 rondas a su favor, entonces gana con las 3 combinaciones en que obtiene un solo acierto a su favor (3C1), también gana con las 3 combinaciones en que obtiene dos aciertos a su favor (3C2), y gana con la única combinación en que obtiene tres aciertos a su favor (3C3), es decir, de las 8 combinaciones posibles tiene 7 a su favor (7/8), mientras que le es desfavorable aquella única combinación en que no obtiene ningún acierto a su favor (3C0). En cambio, desde la perspectiva de B para ganar la apuesta sólo lo favorece la única combinación en que obtiene tres aciertos dentro de las 3 rondas a jugar (3C3), ya que las demás combinaciones de resultados (3C2, 3C1, 3C0) le son desfavorables, y por tanto su probabilidad de triunfo es sólo de 1/8. Es evidente que en este caso al ser suspendido el juego a A le corresponde una 7/8 parte de la apuesta mientras que a B sólo le corresponde 1/8 parte de la apuesta, distribución realizada de acuerdo a las respectivas probabilidades de triunfo de cada jugador calculadas según el número de rondas que ya tiene ganadas y según el número de rondas que le hace falta ganar. 

EL NACIMIENTO DE LAS «MATEMÁTICAS DEL AZAR» O LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD:

Aunque Fermat y Pascal en este cruce de cartas originado para solucionar el Problema de los Puntos usaron preferiblemente expresiones tales como «chance», «rondas a favor», «desventaja» o «reparto equitativo» de la apuesta, en todo caso su trabajo sentó las bases matemáticas que caracterizan al enfoque clásico de la Teoría de la Probabilidad, nuevo terreno matemático que ya había comenzado a ser incursionado en las obras de Gerolamo Cardano (Liber de ludo aleae) y Galileo Galilei (Sopra le scoperte dei dadi).

Pascal fue consciente de que las reflexiones realizadas en torno de la solución del  Problema de los Puntos habían abierto un nuevo campo de conocimiento sobre los fenómenos de la Naturaleza regidos por la incertidumbre. Sus contemporáneos aún manifestaban cierto escepticismo cuando Pascal afirmaba que también la incertidumbre podía ser escrutada mediante la aplicación de precisas leyes matemáticas. Sin embargo, ese escepticismo desaparecía cuando se daban cuenta de que Pascal hablaba en serio al afirmar muy convencido que: «Así, acompañando juntos el rigor de la demostración científica y la incertidumbre del azar, y reconciliando estas dos cosas las cuales en apariencia son contrarias entre sí, surge un nuevo arte cuyo nombre deriva de ambos elementos, y por eso justamente asume el pasmoso título de las Matemáticas del Azar». Estas Matemáticas del Azar, que se basaban inicialmente en primarios análisis combinatorios, demarcaron el enfoque clásico de la Teoría de la Probabilidad.  

Este enfoque clásico originariamente lo aplicaron los grandes matemáticos al análisis de los juegos de azar, al sostener que la probabilidad en estos casos es un asunto de «proporción» entre los resultados favorables que pueden ocurrir sobre la totalidad de los resultados posibles que puede arrojar el juego, al sostener también que todos los resultados de un juego tienen el mismo chance de aparecer en cada jugada o ronda (son «equiprobables»), y al demostrar que esa imagen de «equilibrio» que rige en la aparición de los resultados azarosos del juego puede ser probada o sustentada mediante tablas de combinaciones, fórmulas o triángulos numéricos que permiten calcular el abanico total de posibles resultados que pueden ocurrir.

Es indudable que en aquella época ya existían emprendedores que conscientemente comenzaban a diseñar nuevos juegos de azar en los que las condiciones matemáticas establecidas para el reparto de las apuestas no eran equitativas según las probabilidades de triunfo de cada jugador, es decir, se trataba de juegos en los que un participante ya explotaba una ventaja matemática a su favor, y evidentemente muchos de esos emprendedores perfeccionaron la ventaja matemática de tales juegos al nutrirse con la divulgación de las investigaciones realizadas por personajes como el Chevalier de Méré, Pierre de Fermat o Blaise Pascal. El camino estaba abierto para comenzar a analizar y explicar los fenómenos aleatorios como si fueran fenómenos que también están regidos por las formas ideales y perfectas de las matemáticas.

FUENTES DE CONSULTA:

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

DREXEL UNIVERSITY. The Math Forum. The Problem of Points. En: http://mathforum.org/isaac/problems/prob1.html

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

HALD, Anders. A history of probability and statistics and their applications before 1750.  John Wiley & Sons, New Jersey, 2003

KOYRE, Alexandre. Estudio de historia del pensamiento científico. Editorial Siglo XXI, Ciudad de México, 1978.

TODHUNTER, Isaac. A history of the mathematical theory of probability. Chelsea Publishing Co., New York, 1965.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Binomial Coefficients; Blaise Pascal; Combinatorial Analysis; Pascal’s Triangle; Pierre de Fermat; Problem of Points; Theory of Probability.

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