La ciencia de zafar la contradicción

Entre la cantidad de frases célebres que se atribuyen a Bertrand Russell, filósofo, matemático y uno de los intelectuales más influyentes del siglo XX, esta es una frase ingeniosa de esas que reservamos para hacernos como que sabemos de algo, aunque en realidad no comprendamos bien su significado. Tal y como está escrita podría parecer que Russell quería señalar lo inútil que es aprender matemáticas, pues ni los propios matemáticos saben de lo que hablan. A mí me recuerda a aquello que dijo un compañero de clase de “yo nunca he visto un logaritmo andando por el pasillo”, mirando a nuestra profesora  mientras dibujaba media sonrisa como si estuviera a punto de añadir “je je”. Aparte de que el argumento es absurdo (si fuera cierto no deberíamos estudiar gramática hasta no ver un complemento directo comprando el pan) la frase que nos ocupa no va por ahí.

Para comprender qué nos quería decir Russell vamos a emplear una técnica eficaz aunque poco valorada hoy en día: contrastar la información. La frase, que en efecto es de Russell, pertenece a un ensayo de 1901 llamado “Mathematics and the metaphysicians“. El tercer párrafo dice:

Las matemáticas puras consisten en afirmaciones en el sentido de que, si tal proposición acerca de algo es verdadero, entonces tal otra acerca de ese mismo algo también lo es. Lo principal es no discutir si la primera proposición es en efecto cierta o no, ni mencionar qué es ese algo. Ambos aspectos pertenecerían a las matemáticas aplicadas. En matemáticas puras partimos de ciertas reglas de deducción, a partir de las que podemos inferir que, si una proposición es verdadera, entonces algunas otras también lo son. Estas reglas de inferencia constituyen la parte principal de los principios de la lógica formal. Tomamos entonces cualquier hipótesis que nos parezca entretenida y deducimos sus consecuencias. Si en lugar de referirse a algo en particular nuestra hipótesis no trata sobre nada, nuestras deducciones serán matemáticas. Por tanto, las matemáticas podrían definirse como aquello en lo que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad. Quienes en sus comienzos con las matemáticas se hayan sentido desconcertados considerarán adecuada, espero, esta definición, y probablemente estarán de acuerdo en que es precisa(1).

Bueno, quizá nos hayamos quedado un poco igual, así que vamos a intentar entender un poco qué quiere decir este párrafo. Les animo a seguir la explicación paso a paso sin asustarse por las fórmulas, la idea se puede entender perfectamente sin ellas (en realidad los matemáticos sólo las usamos para impresionar a las chicas. Obviamente es broma, que todo hay que explicarlo).

La principal inquietud de Russell acerca de las matemáticas estaba en su formalización estricta. Como matemático no estaba tan interesado en desarrollar aspectos concretos como el cálculo, la geometría o la estadística, como en encontrar la manera de construir una descripción formal de este conocimiento que fuese sólida y coherente. De hecho su trabajo más importante en matemáticas fue “Principia Mathematica“, escrito junto con Alfred North Whitehead entre 1910 y 1913, una obra que trataba de describir los conocimientos matemáticos de la época en forma de proposiciones deducidas a partir de unos pocos axiomas, utilizando las reglas de la lógica formal. Ésta estudia cómo deducir afirmaciones a partir de otras, pero no se preocupa sobré qué es lo que se está afirmando. Para Russell no había mucha diferencia entre la lógica formal y lo que él llamaba matemáticas puras, y de ahí que afirmase que éstas son “aquello en lo que nunca sabemos de lo que estamos hablando”, pues, según él, si lo supiésemos nos estaríamos moviendo en el campo de las matemáticas aplicadas.

Para entender lo de “ni si lo que decimos es verdad” hay que meterse un poco más en el asunto. En el párrafo que hemos visto, Russell hace una rápida descripción de lo que es el sistema axiomático-deductivo, que aplicó más tarde en los Principa Mathematica. Este sistema consiste en establecer unas “verdades absolutas” denominadas axiomas, que aceptamos como verdaderas, a partir de las cuales deducimos todas las proposiciones o afirmaciones que construyen una teoría. Así, usando un axioma Apodemos deducir una proposición p, de esta otra q y así sucesivamente. Esto escrito en lenguage matemático (conocido por algunos como lengua de Mordor) se expresa:

A \rightarrow p \rightarrow q

Veamos un ejemplo de esto. Una forma de definir los números naturales es mediante los denominados axiomas de Peano. Uno de ellos, que llamaremos A, afirma que cualquier número natural n tiene un sucesor n’ que también es un numero natural. Para no complicarnos demasiado, vamos a saltarnos un poco el rigor de la formalización de la axiomática de Peano escribiendo n’=n+1 (2). Entonces podemos afirmar que

A = \{ \forall n \in \mathbb{N}, \; \exists n' \in \mathbb{N} \, / \, n'=n+1 \}

que traducido quiere decir “el axioma A afirma que, dado cualquier número natural n, existe otro número natural n’ que es su sucesor”.

Una de las proposiciones que se deducen de este axioma es que hay infinitos números naturales, o dicho en lenguaje matemático, la proposición p=\{card(\mathbb{N})=\infty\} es cierta. Si utilizamos la regla de inferencia llamada reducción al absurdo, que consiste en hacer una determinada suposición y comprobar que nos lleva a una situación absurda o contradicción, podemos suponer que no es cierto que haya infinitos números naturales. En ese caso habría alguno que sería el mayor de todos, al que llamaremos, por ejemplo, k. Formalmente, lo que estamos haciendo es suponer que la proposición

q= \{ \exists k \in \mathbb{N} \, / \, \forall n \in \mathbb{N}, \; n \leq k \}

es cierta. Pero el axioma A, que también es cierto, dice que todo número natural debe tener un sucesor, luego k debe tenerlo también. Es decir,

A \wedge q \rightarrow \exists k+1 \in \mathbb{N}

Resulta pues que si existe un número k mayor que todos los naturales y además hacemos caso a A, debe existir su sucesor k+1, que también será un número natural. Pero en ese caso resultaría que k es más pequeño que k+1, y eso según q no puede ser, pues k es el más grande de todos. Acabamos de encontrar que se contradicen.

Entonces, ¿en qué quedamos, tiene razón A o la tiene q? Como hemos establecido que A es un axioma, debemos darle la razón a él y por tanto quitársela a q. En definitiva, no puede existir un número natural más grande que todos los demás, pues todos tienen un sucesor, y por tanto p es cierto: hay infinitos números naturales.

A \rightarrow p

Hay dos detalles especialmente interesantes que señalar en todo este proceso. El primero es que hemos podido comprobar que en matemáticas no hay nada que se pueda dar por sentado por muy obvio que parezca, salvo aquello que se considere un axioma. Que los números naturales son infinitos es algo que entiende mi sobrino desde que tenía cinco años. Sin embargo, no es un axioma, luego para construir una teoría coherente de los números naturales es necesario demostrarlo. El segundo, directamente relacionado con la frase que nos ocupa, es que en ningún momento nos hemos planteado si el axioma A es en efecto cierto o no. Aunque desde nuestro conocimiento de los números naturales todos afirmaríamos que es cierto, no es algo demostrable a partir de los otros axiomas, por tanto es cierto sólo y exclusivamente porque nosotros le asignamos ese significado. Por esto dice Russell que en matemáticas “no sabemos si lo que decimos es verdad”.

De hecho, si cambiamos el axioma A por otro manifiestamente falso podríamos seguir haciendo matemáticas tranquilamente. Por ejemplo, si aceptamos el siguiente axioma

A'=\{ \exists k \in \mathbb{N} \; / \; \forall n \in \mathbb{N}, \; n \neq k+1 \}

que dice que existe un número natural que no tiene sucesor, el resultado es que el conjunto de los números naturales debe ser finito.  En efecto, si hubiera infinitos números naturales podríamos escoger un número mayor que k, por ejemplo p, al que restar 1 las veces que fuera necesario hasta llegar a k+1, por ejemplo veces, de tal forma que p-q sería el número k+1Pero eso contradice A’, pues según él no existe tal número k+1. Dicho de otra forma,

A' \wedge card(\mathbb{N})=\infty \rightarrow \exists p,q \in \mathbb{N}, p>k \; / \; p-q=k+1!!!

Por tanto, si tomamos el axioma A’ en lugar del A, los números naturales son finitos(3).

Ambas afirmaciones son falsas a nuestro entender, pero para las matemáticas podrían ser perfectamente válidas, pues si acordamos que la primera es verdadera, la segunda también lo es. Sólo nos faltaría comprobar que A’ no contradice los demás axiomas de Peano(4), pero incluso si lo hiciera podríamos modificarlos de tal forma que su aplicación no generase contradicciones. Tendríamos así una nueva teoría perfectamente válida desde el punto de vista matemático, aunque no nos pareciese real.

Lo importante en matemáticas no es si lo que dices es real, sino si es coherente con el resto de las matemáticas. El hecho de que axiomas o proposiciones no se correspondan con la realidad no los invalida, esto solo ocurre si aparecen contradicciones con el resto de la teoría.

Por tanto, no es que los matemáticos no sepamos de lo que hablamos ni si lo que decimos es cierto. Es que eso, si estás haciendo matemáticas, es un detalle irrelevante.

Más información en:

(1) La traducción es mía, pido disculpas por anticipado si hay algún error.

(2) En la axiomática de Peano se habla de n+ o n’, para escribir n+1 habría que definir primero la suma. Más aún, para afirmar que n<n+1 habría que definir una relación de orden en los números naturales. Obviamente esto se escapa de la intención de esta entrada, por lo que hemos supuesto que ambas ideas estaban definidas.

(3) Este ejemplo es cosecha propia, así que aceptaré cualquier crítica despiadada si alguien encuentra alguna incongruencia.

(4) ¿Alguien se atreve a averiguarlo?

La idea para esta entrada surgió de un problema propuesto por Juan José Briceño en el foro de Facebook “Matemáticas UNED“.

– De lacienciaysusdemonios.com

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