Funciones matemáticas: límites

¿Qué es un límite de una función?

El límite de una función es, a grandes rasgos, el comportamiento de dicha función en el entorno de un punto (alrededor del punto) sin importar qué sucede con la función en ese punto (puede incluso no estar definida la función en el punto).

En símbolos: lim x→p f(x) = L ; se lee “el límite cuando x tiende a p de f(x) es igual a L”, y eso describe el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a p. Significa que cuando x toma valores próximos a p y tan próximos como se quiera, pero no iguales a p (por derecha y por izquierda, es decir valores mayores y menores a p) la función se aproxima a un valor L, que es el límite de la función, tanto como se quiera. Es más fácil entenderlo gráficamente. Por ejemplo, tomando la función y= x+1 el límite cuando x tiende a 2 (es decir, se aproxima a 2, pero no es 2) es 3, ya que si nos acercamos a 2 por izquierda tanto como queramos, con valores menores a 2 (1,9; 1,99, 1,999) y por derecha tanto como queramos, con valores mayores a 2 (2,01; 2,001; 2,0001) f(x) toma valores tan próximos a 3 como queramos.

Videos: un profesor te explica fácil a ti, cuando quieras

En este video hablaremos del concepto más importante dentro de la rama del cálculo, este concepto es el límite de una función, en este video se verá una definición más intuitiva de este concepto y en videos posteriores trataremos de realizar definiciones más formales. Para explicar de manera más clara nos dicen que efectuemos esta operación: Halle el lim(x→1)[(x)^2)] , lo que nos quiere decir esta expresión es que hallemos el límite de la función x^2 cuando x se acerca al valor de 1, como vemos en el video, para saber que pasa con la función cuando x se acerca al valor de1 construimos una tabla en donde en el lado izquierdo ponemos valores de x cercanos a 1 y en el lado derecho ponemos que pasa con la función x^2, al reemplazar los valores cercanos a 1 en dicha función, vemos que si escogemos números cercanos a uno, nos podemos aproximar tanto desde la izquierda como desde la derecha,entonces si escogemos los siguientes números: 0.9,0.95, 0.99 ( desde la izquierda) y 1.01,1.05, 1( desde la derecha) la función x^2 adquiere los siguientes valores respectivamente: 0.81, 0.9025, 0.9801( desde la izquierda) y 1.0201, 1.1025, 1.21 (desde la derecha), vemos que a medida que la x se acerca a uno el valor de la función se acerca igualmente al número 1, decimos entonces que lim(x→1)[(x)^2 ]= 1. Aunque en el ejemplo anterior el límite de la función coincidió con el valor al cual tiende x, no siempre ocurrirá esto, en el video se ilustra un caso en el que el límite de una función para un x que tiende a un número dado no necesariamente coincide con evaluar la función en ese valor.

 En este video se da una introducción al concepto de límite de una función de variable real usando como método de cálculo la evaluación directa de los valores cercanos a x en la función. Incluso se ilustra que el límite de una función para un x que tiende a un número dado no necesariamente coincide con evaluar la función en ese valor

Introducción al concepto de límite de una función 2  Introducción al concepto de límite de una función 3 Ejemplos cálculo del límite de una función
  En cada grupo un tema para que participes, además

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente… ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

  • Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
  • Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta “2” pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra “límite” para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir “ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2”

En un gráfico queda así:Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha “desaparecido” mágicamente…… pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando?¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde “debe de estar”!

Probemos por el otro lado:

x (x2-1)/(x-1)
1.5 2.50000
1.1 2.10000
1.01 2.01000
1.001 2.00100
1.0001 2.00010
1.00001 2.00001

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función “f(x)” con un “salto” así:

Función discontinua

Aquella que no puede dibujarse de un solo trazo. Es decir, existen puntos donde de una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. Estos puntos reciben el nombre de puntos de discontinuidad de la función.

LIMITES LATERALES- El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.Para expresar el límite por izquierda se escribe Límite menos x f(x)- El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.Para expresar el límite por derecha se escribe Límite mas x f(x)

¡En esta función el límite no existe en “a” … !No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias:

  • 3.8 por la izquierda, y
  • 1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos “-” o “+” (como en el dibujo) para definir los límites laterales:

  • el límite por la izquierda (-) es 3.8
  • el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario “no existe”

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?
Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 … pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

  • No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
  • Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es “0” pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra “límite” para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas “límite”, piensa en “acercarse”

Es una manera matemática de decir que “no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0.

Lee más en límites en el infinito.

Resolviendo

Hemos sido un poco vagos, sólo hemos dicho que el límite es un cierto valor porque parece que vamos hacia él.

¡Con eso no basta!

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Uno entre infinito

Empecemos por un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?
Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 … pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

  • No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
  • Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es “0” pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra “límite” para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas “límite”, piensa en “acercarse”

Es una manera matemática de decir que “no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0.

Resumen

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.

Lo que pasa en ∞ es indefinido 1/∞
… pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando “x” se hace más grande, le pasa lo mismo a “2x”:

x y=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200

Así que cuando “x” va a infinito, “2x” también va a infinito. Lo escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo “=”. No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los “límites”, el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).

Infinito y grado

Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.

De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber “hacia dónde van”, así:

Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.
 1/0 NO VALE 0. La división entre 0 no está definida. Por lo tanto, se la considera una indeterminación o una expresión inválida.El límite de 1/0 cuando x tiende a 0 es infinito, pero cuidado: es -∞ si te acercas a 0 por la izquierda del 0, y es +∞ si te acercas por la derecha del 0. La indeterminación 1/0 siempre proviene de un límite que vale infinito, pero el signo del infinito puede cambiar según te acerques por la derecha o por la izquierda del punto (son los llamados límites laterales).

El porqué vale infinito es fácil verlo con una tabla de valores. Si sustituyes en la función números cada vez más cercanos al 0, obtendrás números cada vez más grandes:

f(x)=1/x

Tomando x=1/2, 1/3, 1/4, 1/10,… obtenemos:
f(1/2)=1/(1/2)=2
f(1/3)=1/(1/3)=3
f(1/4)=1/(1/4)=4
f(1/10)=1/(1/10)=10
f(1/100)=1/(1/100)=100
f(1/1000)=1/(1/1000)=1000

Observa que los valores 1/2, 1/3, 1/4, 1/10,… se van acercando a 0 por la derecha, y obtenemos los valores 3, 4, 10, 100, 1000… que se van haciendo cada vez más grandes, es decir, se acercan a infinito. Y cuanto más cerca del 0 estés, más grandes se harán los valores de la función.

Si te acercaras al 0 por la izquierda, ocurriría lo mismo, pero con números negativos y por eso sale -∞.

Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene “x” dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito  Pero ten cuidado, una función como “-x” va hacia “-infinito“, así que hay que fijarse en los signos.

De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.
Si el grado es:
  • mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
  • menor que 0, el límite es 0

 Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite

Funciones racionales

Una función racional es el cociente de dos polinomios:
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:

Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es …

Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):

 Si el grado de P es menor que el grado de Q …

… el límite es 0.

 Si el grado de P y de Q son iguales …

… divide los coeficientes de los términos del grado más grande

 Si el grado de P es mayor que el grado de Q …

… entonces el límite es infinito positivo …
… o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos!

Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:

Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos …
  • x3 (el término de mayor exponente arriba) y
  • 6x2 (el término de mayor exponente abajo)

… son positivos.    Pero esta va hacia infinito negativo, porque -2/5 es negativo.

Un ejemplo más difícil: Calcular “e”

Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:

(1+ 1/n)n

En el infinito: (1+1/∞) = ??? … ¡no lo sabemos!

Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:

n (1 + 1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827

Se estabiliza en un valor (2.71828… que es el número mágico e)

Así que tenemos aquí otra situación extraña:

  • No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
  • Pero vemos que va hacia 2.71828…

Así que escribimos la respuesta con límites:

Es una manera matemática de decir “no estamos hablando de lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e.

¡No te equivoques al escribirlo… !

Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a2.71828….

¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un “número real muy grande” (¡no lo es!) sale esto:

(1+1/∞) = (1+0) = (1) = 1 

Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldránrespuestas equivocadas!

Los límites son la manera correcta de hacerlo.

Evaluar límites

He intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.

Pero “evaluar” (es decir calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más.

Resumen breve de límites

A veces algo no se puede calcular directamente… ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Por ejemplo: (x2-1)/(x-1)
En x=1: (12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es “indeterminado”, lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

  • Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
  • Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta “2” pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra “límite” para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir “ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2”

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2

Evaluar límites

“Evaluar” quiere decir calcular el valor de (piensa en e-“valua”-r)

En el ejemplo de arriba dijimos que el límite era 2 porque es lo que parecía. ¡Pero con eso no basta!

De hecho hay muchas maneras de tener la respuesta correcta. Veamos algunas:

1. Sólo sustituye el valor

Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).

Vamos a probar con ejemplos:

Ejemplo Valor al sustituir ¿Funciona?
(1-1)/(1-1) = 0/0
10/2 = 5

El primero no funcionó (¡ya lo sabíamos!), pero el segundo nos dio una respuesta rápida y fácil.

2. Factores

Podemos probar factorizando.

Ejemplo:
Factorizando (x2-1) en (x-1)(x+1) tenemos:
Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:

3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias el signo entre dos términos, así:

Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:

Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!

Así que vamos a manipular un poco:

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:
Simplifica arriba usando :
Simplifica arriba un poco más:
Elimina (4-x) arriba y abajo:

Así que nos queda:

¡Hecho!

4. Límites infinitos y funciones racionales

Una función racional es un cociente de dos polinomios:
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:

Cuando queremos saber el límite cuando x va a infinito, calculando los grados de arriba y abajo podemos saber si es 0, infinito, -infinito, o calcularlo fácilmente a partir de los coeficientes.

Lee sobre esto en límites en el infinito.

5. Método formal

El método formal consiste en demostrar que puedes acercarte tanto como quieras a la respuesta haciendo que “x” se acerque a “a”.

Acercándose …

A veces algo no se puede calcular directamente… ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es “indeterminado”, lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

“f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor”

Si llamamos “L” al límite, y “a” al valor al que se acerca x, podemos decir

“f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a”

Calculando “cerca”

A ver cuál es una manera matemática de decir “cerca” … ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 – 4 = 0.01 
Ejemplo 2: 3.8 – 4 = -0.2 

Hmmm… ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido… lo que nos hace falta es “no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia”. La solución es usar el valor absoluto.

“Qué tan cerca” = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2 

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

“|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño”

f(x) = (x2 – 1) / (x-1)

  • cuando x se acerca a a=1,
  • f(x) se acerca a L=2

Así que

  • |f(x)-2| es pequeño
  • cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero “pequeño” es español, no “matemático”.

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él
para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada “delta” y ε llamada “epsilon”, se suelen
usar para esto, de aquí sale la frase “delta-epsilon”)

Y tenemos:

“|f(x)-L|<cuando |x-a|<

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites…

… pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)
se cumple para todos los >0  existe y es >0 no es exactamente igual que a significa 0<|x-a|

Y así queda:

“para cada>0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|<cuando 0<|x-a|<

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De: A:
0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para  (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

  1. Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
  2. Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:
(Nota: a=3, y L=10)
0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

Empieza con: |(2x+4)-10|<
Simplifica: |2x-6|<
Saca el 2: 2|x-3|<
Pasa el 2 al otro lado: |x-3|</2

Aquí podemos adivinar que =/2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.

Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<? A ver…

Empieza con: 0<|x-3|<
Sustituye : 0<|x-3|</2
Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<
Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<
Saca un “10” 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo =/2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

“para cada , existe un  que cumple que |f(x)-L|<cuando 0<|x-a|<

Y así hemos demostrado que

Conclusión

Esta demostración ha sido bastante simple, espero que explique esas palabras tan extrañas “existe un… “, y que hayas aprendido una buena manera de intentar este tipo de demostraciones.

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